Seno, cosseno e tangente

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lá, estudantes! Vocês se lembram das relações trigonométricas? Entre elas, as três mais importantes são: seno, cosseno e tangente. Elas podem ser estabelecidas e aplicadas na trigonometria do triângulo retângulo. Podemos estabelecer aspropriedades do triângulo retângulo a partir de um triângulo qualquer que possua um ângulo reto, como o da figura a seguir:
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Cada ângulo não reto possui um cateto oposto e um cateto adjacente. Apenas a hipotenusa é a mesma para ambos os ângulos.

Seja α (α ≠ 90°) um ângulo pertencente a um triângulo retângulo qualquer, as relações trigonométricas são calculadas da seguinte forma:

seno → sen α  = cateto oposto a α
                              hipotenusa

cosseno → cos α  = cateto adjacente a α
                                hipotenusa

tangente → tan α  =   cateto oposto a α     
                                  cateto adjacente a α

Vale lembrar que, para os ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podemos utilizar a tabela trigonométrica a seguir que dá uma “mãozinha” nos cálculos:

Essa tabela trigonométrica estabelece os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°)

Vejamos como costumam aparecer as questões que envolvem seno, cosseno e tangente no Enem:

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km.
b) 1,9 km.
c) 3,1 km.
d) 3,7 km.
e) 5,5 km.

Para resolver essa questão, basta calcular a tangente do ângulo de 60°. Lembrando que a tangente é o quociente do lado oposto pelo lado adjacente ao ângulo. O valor da medida do lado adjacente está na figura da questão, 1,8 km. A medida do lado oposto ao ângulo de 60° é o valor que estamos procurando e pode ser chamada de x. Na tabela trigonométrica, podemos ver que a tangente de 60° vale √3. Façamos então:

tan 60° =   cateto oposto a 60°     
                                  cateto adjacente a 60°                    
√3 =  x 
                                  1,8                         
x = 1,8.√3
x = 1,8.1,73
x = 3,114 km

A alternativa correta é aquela que mais se aproxima do resultado encontrado, portanto, a letra c.

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:

a) 1000 m.
b) 1000√3 m.
c) 2000 √3/3 .
d) 2000 m.
e) 2000√3 m.

A menor distância entre o ponto P e a trajetória do barco é uma reta perpendicular. Traçando essa nova reta, é possível visualizar dois triângulos. Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale sempre 180°, podemos identificar os demais ângulos do problema:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, podemos encontrar os valores dos ângulos que faltam.

Observe que o triângulo ABP possui dois ângulos internos iguais, portanto, ele é isósceles. Sendo assim, podemos afirmar que os lados AB e BP  possuem a mesma medida, ambos valem 2000 m. 
Seja x o comprimento do lado CP, podemos utilizar o cálculo do seno de 60° ou do cosseno de 30° para descobrir o valor de x. Calculando o cosseno de 30°, temos: 

 cos 30°  = cateto adjacente a 30°
                                hipotenusa               
 √3  =    x   
    2      2000
2x = 2000√3
x = 2000√3
     2
x = 1000√3 m

A alternativa correta é a letra b

Para aprofundar seu estudo, não deixe de resolver alguns exercícios que a equipe do Brasil Escola separou para você: Exercícios sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo e Exercícios sobre Seno, Cosseno e Tangente.

Bons estudos!

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